EL TEOREMA DE FERMAT

EL TEOREMA DE FERMAT
Begues, 23 de marzo de 1999
Querida Nuria:
nadie había logrado demostrar. Fermat dejó escrito que tenía una maravillosa demostración al respecto, y que no la especificaba porque no cabía en el margen de la hoja de la Aritmética de Diofanto, en la que escribía sus notas. Cabe pensar que quería indicar que la verdad matemática no necesita abogados. Es irrefutable y antes o después se hará evidente, una y mil veces. Daos prisa, si queréis.
Te escribo esta carta movido exclusivamente por las ganas que tenía de hablarte del llamado último teorema de Fermat. Creo que se trata de un hito importante en la historia de las matemáticas.
Mira de nuevo, te lo ruego, la ecuación pitagórica z2 = x2 + y2. El teorema de Pitágoras es fácil de demostrar, como sabes, y la demostración se puede hacer de varias maneras. El teorema es irrefutable, y durante los últimos 2500 años ha guiado a los matemáticos para llegar a muchos otros teoremas, igualmente irrefutables. Sin embargo, has de tener en cuenta que para números enteros el teorema de Pitágoras, sólo se cumple con las llamadas temas pitagóricas –como 3,
4 y 5– que son infinitas.
En el siglo XVII, el matemático Pierre de Fermat hizo la sorprendente afirmación de que la ecuación pitagórica no tiene solución para exponentes enteros superiores a 2, o más concretamente que, con números enteros, la ecuación zn = x” + yn para valores de n superiores a 2 no tiene ninguna solución.
Como a otros muchos matemáticos de los siglos XVII y XVIII, a Fermat le gustaba guardarse para él las demostraciones de nuevos teoremas. Por otra parte, en sus comunicaciones con otros matemáticos, parece que sentía un extraño placer en hacerles enfadar. Descartes decía que era un fanfarrón, y John Wallis se refería a él como «ese maldito francés». Parece que a Fermat nunca le interesó lo más mínimo el éxito y el reconocimiento público. En cualquier caso, desde su época hasta hoy, todo el mundo está de acuerdo en que fue un gran matemático. Fermat fue juez en Toulouse en la época de Richelieu, pero eso ya no interesa a nadie. Teniendo en cuenta la dureza de la justicia en la Francia de aquel tiempo, en vida de Fermat sí que debió interesar a más de uno.
Si no hubiera sido por su hijo mayor, Clément-Samuel, los descubrimientos de Fermat se habrían perdido, y no habrían quitado el sueño a tantos matemáticos durante los 358 años transcurridos desde su muerte. Como es sabido, en 1670 su hijo publicó en Toulouse la «Aritmética de Diofanto conteniendo observaciones de P. de Fermat». Además del texto original de Bachet, en latín y en griego, había 48 observaciones, la segunda de las cuales era la antes indicada, que se conoce con el nombre de último teorema de Fermat. Todas las demás tenían su demostración, muchas veces obtenida por matemáticos posteriores, pero quedaba el último teorema, que
Muchos matemáticos posteriores a Fermat se interesaron por la demostración del último teorema, pero ninguno lo lograba. El propio Fermat había dejado una demostración que podía ser una pista. Mediante una forma particular de reducción al absurdo conocida como el método del descenso infinito, puso de manifiesto que z4 = + y4 no tiene soluciones enteras. Sin embargo, este método no sirvió para demostrar otro tanto para cualquier otro valor de n superior a 2.
En 1753, Euler logró demostrar que para n = 3 la ecuación pitagórica no tenía ninguna solución entera. En dicha demostración, Euler hubo de incorporar el
entonces todavía extraño número imaginario i = (-1)1/2, que se había descubierto poco antes. Por otra parte, los matemáticos se habían dado cuenta de que para demostrar el teorema de Fermat para todos los valores de n sólo era necesario demostrarlo para todos los valores de n correspondientes a números primos. En todos los casos restantes se trata de simples múltiplos de los valores correspondientes a números primos, añadiéndoles el 4 que es el primer mútiplo de 2, y por tanto quedarían implícitamente demostrados.
Cada vez que se anunciaba una demostración acababa resultando incorrecta. Por otra parte, y sin ponerse como meta el último teorema de Fermat, en los siglos XVIII, XIX y XX las matemáticas hicieron progresos que habrían de ser decisivos para llegar finalmente a la demostración correcta.
El autor de la gesta, como sabes, ha sido Andrew Wiles, un inglés que había emigrado a Estados Unidos en los años 80 y había obtenido un puesto de profesor de matemáticas en Princeton. En 1963, cuando sólo tenía diez años, a Wiles ya le gustaban las matemáticas, y descubrió el teorema de Fermat en una biblioteca local. Él mismo ha dicho que:
«Parecía tan simple y, sin embargo, ninguno de los grandes matemáticos de la historia había conseguido resolverlo. Tenía ante mí un problema que yo, un niño de diez años, podía entender. Desde ese momento supe que nunca lo abandonaría. Tenía que resolverlo.»
Y así fue. Wiles había pasado toda su vida obsesionado por el teorema de Fermat, pero en los años anteriores a la demostración no pensaba en otra cosa desde que se levantaba hasta que se acostaba. No hablaba del tema con nadie: era
un asunto totalmente personal. Finalmente llegó la memorable sesión del Newton Institut de Cambridge del 23 de junio de 1883. Era una ocasión extraordinaria porque allí podría presentar su demostración con todo detalle, y discutirla con los matemáticos más importantes del mundo. Para colmo, era en Cambridge, su ciudad natal, en la que había crecido y donde se había enfrascado en el problema que había ocupado toda su vida. Terminada la exposición, 200 matemáticos aplaudieron largamente, y muchos de ellos se pusieron a gritar con entusiasmo.
El título de la conferencia de Wiles en Cambridge era «Formas modulares, curvas elípticas y representaciones de Galois». Parece que el objetivo principal era demostrar una conjetura llamada de Taniyama-Shimura. No es necesario que te diga que soy absolutamente incapaz de exponer mínimamente este tema. Supongo que no me ocurre sólo a mí sino a muchos, más aún cuando nadie sabía que todo ello, además de relacionar ramas muy diferentes de las matemáticas, podría permitir demostrar el último teorema de Fermat. En veinticuatro horas, Wiles se convirtió en el matemático más famoso del mundo, y la revista People lo incluyó en la lista de los 25 personajes del año, junto con la princesa Diana de Gales entre otros.
Se puso en marcha la verificación meticulosa de la demostración del último teorema de Fermat propuesta por Wiles. Era larga y compleja, y se hacía necesario que un equipo de especialistas la analizara con todo rigor. La Gesellschaft der Wissenschaften de Göttingen tenía establecido desde hacía años un premio para el que lograra demostrar el teorema, pero tenía que publicarse, y habían de transcurrir dos años para que los matemáticos de todo el mundo dieran la demostración por válida. Sin embargo, la Gesellschaft der Wissenschaften tuvo noticia inmediata de la conferencia de Cambridge. Un gran número de revisores se ponían en contacto, una y otra vez, con Wiles, pidiendo aclaraciones que él daba con presteza, casi siempre por e-mail, tanto con respecto al manuscrito global de 200 páginas como a los capítulos de su especialidad que tenían encargados. Fue así como llegó el momento en que el experto Nick Katz pidió, entre otras, una aclaración que Wiles no pudo contestar satisfactoriamente. Wiles se dio cuenta de que en su demostración había un error importante. Se trataba de algo tan sutil que, según afirmó el propio Wiles, requería uno o dos meses de estudio detallado para explicarlo a un matemático. La objeción no descalificaba todo el trabajo de Wiles ni mucho menos, pero era devastadora de cara al resultado final. Pese a la preceptiva confidencialidad de los revisores, comenzaron a circular rumores de que en la demostración del teorema de Fermat propuesta por Wiles había un error.
Todos los grandes matemáticos coincidieron en que el trabajo de Wiles era extraordinario. Ahora bien, mientras no se resolviera la dificultad hallada en eltercer capítulo de la memoria, no había demostración del teorema de Fermat. Wiles trabajó durante meses al límite de sus fuerzas. Finalmente, llegó a la feliz intuición que le permitiría arreglar la demostración. Estábamos ya a finales de 1994 cuando Wiles pudo enviar dos manuscritos, el segundo en colaboración con Richard Taylor, que serían defnnitivos. Sumaban 130 páginas, y probablemente sean los manuscritos más concienzudamente examinados de toda la historia de las matemáticas. Se publicaron en los Annals of Mathematics en mayo de 1995. La matemática aún tiene grandes problemas sin resolver, pero el trabajo de Wiles es un paso de gigante, y no sólo por haber terminado con el desafío de Fermat. Además, ha supuesto un gran progreso para unificar áreas de la matemática que no parecía que fuera posible relacionar.
La demostración de Wiles del último teorema de Fermat se basa en una conjetura surgida en los años 50. La argumentación aprovecha una serie de técnicas desarrolladas en las décadas de los 80 y los 90, algunas por el propio Wiles. Ello hace pensar que su demostración no es aquella «maravillosa demostración» que Fermat afirmó tener en el siglo XVII. Hay quien cree que no tenía ninguna, o que la que tenía no era buena. También hay quien piensa que Fermat tenía una demostración mucho más sencilla que aún no se ha hallado. En cualquier caso, el 27 de Junio de 1997 Wiles recogía el premio Wolfskehl de 50.000 dólares, dado que se cumplían todas las condiciones. Francamente, creo que se lo merecía de sobra. A veces pienso que Fermat y Wiles marcarán el comienzo y el final del periodo que se ha llamado segunda edad de oro de las matemáticas.
Afectuosamente,