Los PERIODOS ALEJANDRINOS MEDIO Y TARDÍO
Begues, 15 de octubre de 1983
Querida Nuria,
Una de las figuras más importantes de la ciencia en la Antigüedad clásica es sin duda Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.). No pertenece a la escuela alejandrina, pero viajó a Egipto y mantuvo un estrecho contacto con los hombres del Museo.
En aquella época, Siracusa era una ciudad griega de Sicilia, gobernada por el tirano Hierón, con el que Arquímedes mantenía una gran amistad. Quizá recordarás la anécdota de la corona de Hierón, que éste había encargado a un joyero después de entregarle su peso en oro. Corrió la sospecha de que parte del oro había sido sustituido por plata y Arquímedes se propuso aclarar el asunto. Reflexionando sobre el problema mientras se bañaba, y quizá al observar cómo subía el nivel del agua a medida que se sumergía en ella, se le ocurrió la solución y ello le produjo tal euforia que no pudo reprimir un grito de «¡Eureka!» («¡Lo encontré!»). Con dos pesos iguales al de la
corona, uno de oro y otro de plata, determinó el volumen de agua que cada uno desalojaba al introducirlo en un recipiente completamente lleno. Descubrió que la masa de oro hacía rebosar menos agua que la masa de plata y que, haciendo lo mismo con la corona, se derramaba una cantidad intermedia. De ahí a cuantificar el porcentaje de adulteración sólo había un paso, que el siracusano dio fácilmente. En su obra «Sobre los cuerpos flotantes», Arquímedes desarrolla la teoría de los que hoy llamamos «pesos específicos», a la vez que establece el fundamento de toda la hidrostática.
También se debe a Arquímedes la teoría de las palancas, pese a que hacía mucho tiempo que el hombre las había descubierto empíricamente. Pero Arquímedes estableció los principios rigurosamente matemáticos en que se basa su uso y extrajo de ellos todas las consecuencias posibles. Recuerda su famosa frase: «Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo». Sin duda era una inteligencia extraordinariamente brillante y un hombre la mar de simpático. Con su obra «Del equilibrio plano» se inicia la mecánica moderna.
Arquímedes también desarrolló de un modo elegantísimo la teoría de los límites. Podemos inscribir fácilmente un cuadrado en el interior de un círculo y es obvio que la suma de sus lados es menor que la longitud de la circunferencia. También está claro que su área es menor que la del círculo. Si duplicamos el número de lados podemos construir un polígono inscrito en el interior de la misma circunferencia y las dos proposiciones establecidas anteriormente con respecto al cuadrado seguirán siendo válidas. Podemos ir duplicando sucesivamente el número de lados y cada vez, pese a cumplirse las proposiciones mencionadas, tanto la diferencia entre el perímetro del polígono inscrito y la circunferencia como la diferencia entre el área del polígono y la del círculo serán más pequeñas. Otro tanto se puede hacer con los polígonos circunscritos a la circunferencia. En ambos casos, en el límite, el polígono se convierte en la circunferencia, y Arquímedes vio claramente que podemos construir polígonos tan aproximados a ella como queramos. Buscó el límite de la relación entre la suma de los lados de los sucesivos polígonos inscritos y circunscritos y el diámetro de la circunferencia, y lo halló comprendido entre 3 + 10/71 y 3 + 10/70.
Esta es la primera determinacion del número pi, la mas aproximada durante muchos siglos. De ahí salen las célebres fórmulas de la longitud de la circunferencia, 2pir, y del área del círculo, pir2, además de la equivalencia entre el área del círculo y la de un triángulo de base igual a la longitud de la circunferencia y de altura igual al radio.
Uno de los problemas de la matemática en la antigüedad clásica era la dificultad que representaba no disponer de un sistema apropiado de numeración. Usaban una notación alfabética que, como la numeración romana que tú conoces, conllevaba grandes dificultades para las operaciones aritméticas y para expresar números grandes. En su libro «Psammites» («El arenario»), Arquímedes dio muestra una vez más de su extraordinario ingenio, desarrollando un método para expresar números muy grandes. El título alude a la pregunta de cómo se podrían contar todos los granos de arena que hay en todas las playas del mundo. La solución propuesta por Arquímedes consiste en usar unidades de diferentes clases. La unidad de primera clase, llamada miríada, corresponde a diez mil unidades naturales. La de segunda clase es la octada, que equivale a una miríada de miríadas. La de tercera clase es la octada de octadas, la de cuarta clase la octada de octada de octadas, y así sucesivamente. Entonces, si determinamos los granos de arena que hay en un volumen cualquiera, podremos expresar mediante una cifra el número de granos de arena que constituirían el volumen de toda la Tierra. Podemos aproximarnos al de las playas suponiendo que la arena repartida uniformemente formara una capa de mil estadios (un estadio equivale a 185 metros), de cien o de uno. Expresándolo en unidades de cada clase, podemos encontrar un límite superior del número de granos de arena que buscamos. Hay que decir que el volumen de la Tierra fue calculado partiendo del diámetro determinado por Eratóstenes.
Otras obras de Arquímedes que han llegado hasta nosotros, y que son muy importantes para la historia de las matemáticas, son «Sobre la esfera y el cilindro», «Sobre los conoides y los esferoides», «Sobre las espirales» y «Sobre la cuadratura de la parábola».
Arquímedes fue el inventor de ingeniosos aparatos. Entre ellos ha sobrevivido la bomba de tornillo, que en Egipto todavía se usa para regar. De hecho, el tornillo de Arquímedes es una pieza que se estudia en mecánica y forma parte de muchas máquinas. Parece que también ideó máquinas de guerra para defender la ciudad frente a los romanos, como una especie de grandes espejos cóncavos para concentrar los rayos solares sobre las naves enemigas y hacer que se incendiaran. No sirvieron de mucho, porque los romanos sitiaron y tomaron la ciudad. El propio Arquímedes murió a manos de un soldado al que no había llegado la orden de Marcelo, general de los romanos, de salvar a toda costa la vida del genio.
Un digno sucesor alejandrino de Arquímedes fue Apolonio de Perga, que vivió alrededor del año 200 a.C. Como el propio Arquímedes, puede ser considerado un sucesor de Euclides y, entre otros trabajos, destacan sus grandes progresos sobre la teoría de las cónicas. Por ejemplo, considera a la circunferencia como un caso particular de elipse, mediante sus famosas y elegantes secciones planas de un cilindro. A la vez muestra que los puntos de tangencia de las esferas inscritas en el cilindro con cualquier sección plana son los focos de la elipse y que en el caso de la sección ortogonal coinciden con el centro de la circunferencia.
También es importante la figura de Eratóstenes (276-194 a.C.). Bajo el patronazgo de Tolomeo III Evergetes (247-222 a.C.) realizó una bellísima medición del globo terrestre. Había observado que en Siena (no la ciudad italiana actual, sino otra que corresponde a la moderna Asuán), el primer día de verano, la luz del sol llegaba hasta el fondo de un pozo. En cambio, en Alejandría, el mismo día y a la misma hora, una estaca clavada en el suelo producía sombra; ello indicaba que en Alejandría, ese día y a esa hora, los rayos del sol no incidían verticalmente. Entonces Eratóstenes midió la distancia entre Siena y Alejandría, trasladándose de una ciudad a otra en línea recta y contando el número de vueltas que daba la rueda del carro. La distancia resultó ser de 5.000 estadios. Fíjate en la construcción que muestro a continuación, en la que es fácil darse cuenta de que el ángulo que corresponde al arco de 5.000 estadios guarda una proporción con 360° igual a la de 5.000 con 2pir. A partir de ahí se puede calcular el valor de r determinando el ángulo que los rayos solares forman con una barra vertical en Alejandría, el mismo día del año al mediodía. Obtuvo un valor bastante correcto por defecto.
Eratóstenes hizo importantes trabajos geográficos utilizando el sistema de meridianos y paralelos. Con ese procedimiento llegó a elaborar un mapa del Mediterráneo que, pese a sus inexactitudes, identificarías fácilmente. Eratóstenes también hizo importantes trabajos matemáticos, legándonos la famosa «criba de Eratóstenes» para obtener la tabla de números primos.
Los progresos de las matemáticas iban parejos a los de la astronomía. Entre los hombres que contribuyeron a ello se encuentra Hiparco de Nicea (190-120 a.C.), probablemente el más grande astrónomo de la antigüedad. Trabajó sobre todo en la isla de Rodas, un lugar bellísimo que probablemente recordarás. Realizó muchas observaciones de las estrellas, que comparó cuidadosamente con las realizadas por sus colegas alejandrinos y por astrónomos anteriores, griegos y babilonios. Elaboró un catálogo de más de mil estrellas, cada una con su latitud y longitud celeste, dejando constancia de todos los casos en los que tres o más estrellas estaban situadas sobre un mismo arco, con la idea de que sería fácil determinar si con el tiempo variaba su posición relativa. De hecho, empleando este procedimiento y basándose en sus propias observaciones, Hiparco detectó un cambio, que fue confirmado por astrónomos posteriores. Dicho cambio sólo se podía explicar mediante una rotación del eje de la Tierra en el sentido del movimiento diario aparente de las estrellas. El retorno a la posición inicial requiere veintiséis mil años, pero cada año el equinoccio se adelanta un poco. Por tanto, descubrió el movimiento llamado precesión de los equinoccios: un descubrimiento verdaderamente extraordinario. En la época de los constructores de pirámides, el equinoccio de primavera estaba en la constelación de Taurus, cerca de la estrella Aldebarán; en tiempos de Hiparco, dicho punto se encontraba en la constelación de Capricornio y actualmente en los Peces.
Hiparco también estudió detenidamente el movimiento de los planetas. Siguiendo las observaciones de Apolonio de Perga, se dio cuenta de que sólo podía ser explicado suponiendo que el planeta describe una órbita circular alrededor de un centro, que a su vez se mueve sobre una circunferencia que tiene como centro la Tierra.
A esto se le llama movimiento epicíclico. Como habían sugerido otros autores anteriores, el movimiento aparente también se puede explicar por lo que se llama movimiento excéntrico. El planeta se mueve alrededor de la Tierra según una órbita circular, pero la Tierra está situada fuera del centro. También se puede imaginar que el centro secundario se mueve alrededor de la Tierra siguiendo otra órbita circular. Hiparco explicó el movimiento aparente del Sol según un movimiento excéntrico fijo, y el de la Luna según un movimiento excéntrico móvil. Este último es geométricamente equivalente a un movimiento epicíclico. Partiendo de las teorías de Hiparco se pudieron predecir los eclipses de Sol y de Luna con mucha más exactitud.
Es curioso que el periodo alejandrino medio, tan rico en progresos en matemática y astronomía, fuera relativamente pobre en lo que se refiere a las ciencias de la vida. Quizá fue una excepción el botánico Cratevas (hacia el 80 a.C.), que introdujo la representación de las plantas mediante dibujos muy precisos, algunos de los cuales han llegado hasta nosotros. Fue en realidad un herbolario que describió cuidadosamente las plantas con propiedades curativas.
En el año 50 a.C., Egipto se convierte en una provincia del imperio romano. El Museo aún duraría cuatro siglos, pero este periodo final es de clara decadencia. De todos modos, hay algunos nombres importantes, como Herón de Alejandría (hacia el año 100 después de Cristo), con ingeniosos inventos, entre los que hay que mencionar un juguete que es la primera máquina de vapor. También hay que recordar al médico Rufo de Efeso (hacia el año 100 después de Cristo), que describió el cristalino. También es importante la figura de Diofanto (hacia el 180 después de Cristo), que introduce el álgebra. Por desgracia, la obra de Diofanto no seconoció hasta una edición latina de 1575 y por tanto no influyó sobre el renacimiento de las matemáticas en el siglo XVI. En la antigüedad su obra fue ampliamente comentada por Hipatia de Alejandría, la única figura femenina importante entre los sabios alejandrinos. En el año 415, coincidiendo con el final del Museo, Hipatia fue asesinada por un tropel de cristianos fanáticos.
La personalidad más importante del periodo final de Alejandría sin duda es Tolomeo (hacia el 150 después de Cristo), a quien conviene no confundir con la familia real del mismo nombre. La obra más célebre de este autor es la que más tarde recibiría el nombre de «Almagesto» o «Almagestum», derivado del título que le pusieron los árabes («Almagist», palabra de origen sirio). Parece que el título original era «Megale syntaxis», que significa «Gran obra». Es la síntesis final de la astronomía de la antigüedad. Se basa sobre todo en Hiparco y establece el sistema geocéntrico que prevalecerá hasta Copérnico. El movimiento de los planetas se explica por epiciclos, y el del Sol y el la Luna, por excéntricas. En este libro se describe la construcción del astrolabio, que fue el principal instrumento de observación astronómica en la antigüedad y en la Edad Media. Tolomeo lo utilizó para determinar la distancia a la Luna, concluyendo que era unas cincuenta y nueve veces el radio de la Tierra, lo que no está nada mal. Por si tienes curiosidad por conocer el fundamento del método, basta con que te fijes en la siguiente figura:
Con el astrolabio, el observador determina el suplemento del ángulo LOC, conociendo también la distancia OZ, que permitirá la determinación del ángulo OCZ. Dados los tres ángulos internos del triángulo, se puede determinar la
proporción relativa de sus lados. Tolomeo también describe un cálculo de la distancia al Sol, que no es tan bueno pero constituye un verdadero progreso. Independientemente, Tolomeo hizo un gran trabajo geográfico en el que introdujo un sistema de proyección para representar sobre una superficie plana la superficie curva de la Tierra. Este método se encuentra en su segunda gran obra, titulada «Esquema de Geografía», en la que encontramos mejor que en ningún otro sitio lo que los romanos llegaron a saber de geografía, pero presentado de un modo muy superior a lo habitual entre los geógrafos latinos.
En el último periodo alejandrino podemos incluir la obra de Dioscórides de Anazarba (Asia Menor). Era un cirujano militar del ejército romano en tiempos de Nerón. Escribió una obra sobre las drogas de origen vegetal, lo que permitió la descripción de muchas plantas, empleando ilustraciones al estilo de Cratevas. En rigor es la primera farmacopea de la historia y ejerció una influencia extraordinaria hasta el Renacimiento. De ella arranca la nomenclatura botánica moderna.
La ciencia helenística concluye con dos grandes síntesis. Una es la de Tolomeo, a la que ya me he referido. La otra es la de Galeno y la dejaremos para la carta siguiente.son un poco así, centradas en un argumento principal. Con frecuencia muchos detalles son demasiados detalles. Si pretendemos ver todo lo que ha ocurrido, o incluso lo que ocurre ante nuestros ojos, no llegamos a ver nada interesante. Toda la Historia de la Ciencia es una manifestación elocuente de esta verdad, que por otra parte ya nos enseñaron hombres como Tucídides y Plutarco.
Ahora quisiera hablarte de la segunda gran síntesis del saber clásico en el Helenismo tardío, la del gran médico de Pérgamo. Has de situar a Galeno en el siglo segundo de nuestra era, en la plenitud del imperio romano, momento en que se produce el primer fenómeno de los que de ahora en adelante llamaremos renacimientos. En aquel tiempo Roma experimentó un sentimiento generalizado de admiración hacia todo lo que podríamos llamar el milagro griego; como consecuencia, sufrió una fiebre de helenización. En los autores de esta época se observa una tendencia a volver a los antiguos. De este modo, Galeno representará la culminación de Hipócrates al cabo de siete siglos (es decir, como si un autor actual se dedicara a culminar la obra de los franciscanos y dominicos de la baja Edad Media). La escuela hipocrática había pasado por grandes altibajos, dentro de un proceso general de dilución y de sucesivas reformas introducidas por sus seguidores, a la vez que dejaba paso al desarrollo de nuevas tendencias.
Afectuosamente,
